常被忽略的小問題，常是問題的關鍵之處 -- MPM數學_新生代(亞東分校)

Sep 12 Thu 2013 19:31

常被忽略的小問題，常是問題的關鍵之處

 大人常會認為

已經告訴過小孩多少次了

怎麼還是犯同樣地錯

每當小孩帶回來的考卷

大人看到他們答錯的題目

往往發現是昨天睡覺前

才在告訴或提醒他的題目

怎麼還是答錯呢

也會有家長認為這題不是小孩不會

而是粗心

不然他都可以答對

 

但

不要忽略這小問題

只能說他們對這問題的觀念

還是不清楚

回想看看

如果常出錯在同樣的地方

還要替他解釋為粗心嗎

大人對小孩的解釋

常以大人的認知覺得很簡單

而用小孩無法體會的語言去溝通

（在小孩心中是抽象的語言）

大人會誤以為他們已經理解了

抽象語言溝通不易時

要以小孩的經驗為基礎

否則只能用較具體的事物

讓其去理解體會

體會是需要時間思考

急不得的

不然只能說是強記

先記住再說

如果學習常是這樣的模式

當然會在似懂非懂之下

有時對有時錯的情況下答題

從源頭認識起的樂趣_三角函數

2012/03/13 18:00  分享

    

三角函數

三角函數 能引起人興趣嗎?

 

除了因為工作需要的人

考試需要的學生

和老師外

 

大概是很少社會人士

還會想去探討三角函數

更別說為它著迷

 

問過很多曾經學過的大人們

從早期

三角函數是屬於國中的數學

(而且還不是只有六個)

到現在

則被安排在高中的課程中

(而且還不用學完六個)

 

通常只記得要背很多公式

但大多早已忘了它是什麼

 

因為

大部分人的學習方式

都是先從直角三角形的邊比關係去談

再加上公式都是經過精簡過呈現出最簡單式子

當然不容易理解

因為無法感受出它的關係

最後只好發明些口訣或手勢來幫助記憶

然而過些時日就忘了

更別談應用了

 

但若追根究底去探討三角函數的發展過程

可能會較清楚

 

依經驗告訴我

任何事情

了解了發展過程

自然是會產生興趣的

 

早期的三角函數並不是

一開始就

發展到現在所學的三角函數

 

以前它也叫做 圓函數

它跟圓與直線有極大的關係

它是在探討

 

角與

圓上兩點的連線(弦)

圓的切線

圓的割線

它們之間的關係

 

早期的研究

並不是一開始就用直角三角形來探討的

而是用等腰三角形(並非要是直角三角形)

 

初入門者可以先從這裡下手

是較容易理解的

 

每當我們剛要接觸新的概念時

我們都可以先來個

說文解字

或許就有了思考方向了

 

因為在函數的名詞中

 

正弦  正切  正割

餘弦  餘切  餘割

早已告訴我們

函數應是與圓和直線有關

 

它們是以 單位圓 (半徑為1) 為基礎

加上

餘角和互餘的關係

來探討的

 

才會以

正弦  正切  正割

餘弦  餘切  餘割

的名稱來形容

 

若以英文的名詞

也有類似的意涵

餘(    )函數

都是以 co- 為字首

說明了它們也有相互關係的意思

在這則是

互為餘角關係

 

不論

從中文字義

或是

英文字義

 

 

就能瞭解到

三角函數所代表的意義

這不就是

有意義的學習了

 

概念有了

自然就通了

 

當然不會

只以記憶的方式

混亂了函數名詞

也不會是

死記整理過的最精簡公式

卻

沒了感覺

(沒感覺的學習就是盲目學習)

  

如下圖

 

(本圖以 GeoGebra  的數學繪圖軟體所繪製)

 

 

 

將 (正)角 和 餘角 分開觀察

將直角三角形的三邊 看做 單位圓 (半徑為1) 中的 弦長 切線長 割線長

 

最後再整合出

三個相似三角形

直角三角形 A B C

直角三角形 A'B'C

直角三角形 A''B''C

再去做它們之間的邊比關係

再以

直角三角形的兩股平方和

等於斜邊的平方

y²＋x²＝r²

 

最後就能整理出

很多三角函數的基本公式

 

sin²θ＋cos²θ＝1²tan²θ＋1²＝sec²θ1²＋cot²θ＝csc²θ

 

若能從源頭的基本關係

認識三角函數

就容易多了

 

 

如再能有透過操作來思考的教具該有多好

 

 

待續篇(三角函數教具)

 

 

公式自己導是快樂的來源

 

試試看吧!

晚熟世代 -- MPM數學_新生代(亞東分校)

   晚熟世代

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或許我們是延續上一代環境不好的世代

 總希望下一代會改善

因此

我們常為了下一代

營造了最好的無障礙環境

卻可能讓他喪失了

排除障礙的能力

因此無法面對挫折

無法解決問題

 

 

晚熟世代已到來了

如下引用商周刊的報導

 

晚熟世代

 

冬天的太陽 __MPM數學- 鄭老師 (非思不可)

冬天的太陽

      

秋分(101年9月22日)剛過

 

緊接著就是中秋節了

 

大家可能只在乎

當天看得到月亮嗎?

 

太陽反而暫時不被注意

 

當今十二年國教

也有很多人在乎的可能是

未來題型會是如何出

 

可能會類似PISA考題

會以整合題型出現

 

如下面題型:

 

下圖是一張9月25日拍的夕陽照片

因為當天雲層遮日關係

所以太陽不見了

 

但 照片上

有 A、B、C、D 四點

秋分點 位於 B 點

夏至落日點 在 C 點

 

請問

1. 今年的 聖誕節

2. 明年的 清明節

 

夕陽又會最接近哪一點?

並述說您的推論方式

 

 

 

  歲月如梭 

模仿vs.創造

 模仿vs.創造

     

 

它們是有差別的

 

模仿

可以不用思考

 

創造

一定要加上思考

 

要有好的創意

一定得深入思考

從頭想起

找到基因

才能創造出前所未有的東西

 

當然

凡事

得先從模仿開始

不斷地加以觀察

不斷地加入思考

習慣之後就有了創造力

有意義的學習 _ MPM數學- 鄭老師 (非思不可)

有意義的學習

 

 學習過程中

常會碰到一些

定義或公式

 

尤其是數學

如果在公式上

看不出其意義

就只好死記

 譬如:

三角函數的基本公式

如果是這樣寫的

 sin²θ＋cos²θ ＝1sec²θ - tan²θ ＝1
csc²θ- cot²θ ＝1

sinθcscθ＝1

cosθsecθ＝1

tanθcotθ＝1

  

表面上看起來很簡潔

但

並不容易發現

它們和 1 有何關係

就只好死記

這也就是

沒有意義的學習

 ( 找不到關聯的學習 )

但

如果將前三個式子 = 1

改寫成 = 1² 

則比較有意義

( 雖然 1² ＝ 1 )

 因為

它是用

商高定理

(又稱: 畢氏定理)

(又稱: 勾股定理)

 在平面上的一個

直角三角形中

 直角兩個邊邊長的平方加起來

等於

斜邊長的平方

如果設

直角三角形的

兩條直角邊長度

分別是 x 和 y

斜邊長度是 r

(如下圖)

 那麼可以用

數學語言表達

 y²＋x²＝r²

 這和

下圖三角函數的定義

下列基本公式

是一致的

先將

餘弦 (cosθ) 和 餘切 (cotθ)

搬到X軸線上

因為

餘弦 (cosθ) = CB線段長

餘切 (cotθ) = CB"線段長

 

在單位圓 (半徑=1) 裡

θ角對應的正弦函數值的平方 (sin²θ)

與

θ的餘角(90-θ)對應的餘弦函數值的平方 (cos²θ)

之和等於

單位元半徑 (1) 之平方 ( 1² )

  

  sin²θ＋cos²θ＝ 1²
 tan²θ＋1² ＝ sec²θ
1²＋cot²θ＝ csc²θ

這樣也才有意義

 因為它們之間是有關係的

有關係 (好理解) 則沒關係

沒關係 (難理解) 要找關係

公式的呈現不是只求簡潔

而是要呈現出關係

 欲深入理解請點進

三角函數的意義 

學習過程中

 

如能是

有意義的學習

 必定會有感覺

這樣才能事半功倍

真正的學習

學習效果最好

標準答案

 標準答案

  

學習中

如果只會要求

得到"標準答案"的人

出社會後

適應力

可能會較差

 

學習階段中

如果

只會跟隨標準過程

甚至希望模仿

最佳解題策略

 

遇到

現實社會中的實務

是不易找到一樣的題目

那就

束手無策

 

或許

應歸咎於

出題者為應付電腦閱卷的

標準答案題型

這是一種無奈